选择题

　　1. 下列哪个条件是判断线性定常系统稳定性的充分条件？

　　 - A. 系统的状态方程具有稳定的特征根。

　　 - B. 系统的状态矩阵是可逆的。

　　 - C. 系统的状态方程中控制输入项系数全为正。

　　 - D. 系统的状态矩阵的所有特征值具有负实部。

　　 答案与解析： D。线性定常系统稳定性的充分条件是系统的状态矩阵的所有特征值具有负实部，这保证了系统在零输入的情况下是稳定的。

填空题

　　2. 给定线性定常系统的状态方程为 \( \dot{x} = [-1 \; 0 \; 2 \; -3]x + [1 \; 0]u \)，系统的状态向量 \( x \) 是一个 ______ 维向量。

　　 答案与解析： 4。状态方程中的状态向量 \( x \) 是一个四维向量，因为状态方程中状态矩阵是 4x4 的，表示系统有四个状态变量。

判断题

　　3. 给定线性定常系统的状态方程为 \( \dot{x} = [-1 \; 0 \; 2 \; -3]x + [1 \; 0]u \)，系统的状态方程表示系统是稳定的。

　　 - 正确 / 错误？

　　 答案与解析： 错误。系统的稳定性需要分析状态矩阵的特征值，而不是仅仅通过状态方程的形式判断。该状态方程只是描述了系统的动态特性，不能直接推断系统的稳定性。

论述题

　　4. 请详细说明如何判断给定线性定常系统的稳定性。

　　 答案与解析： 要判断线性定常系统的稳定性，首先需要得到系统的状态方程形式 \( \dot{x} = Ax + Bu \)，其中 \( A \) 是系统的状态矩阵，\( B \) 是控制输入矩阵。稳定性通常通过分析状态矩阵 \( A \) 的特征值来确定：

　　 - 如果系统的状态矩阵 \( A \) 的所有特征值具有负实部，则系统是稳定的。

　　 - 如果存在任何一个特征值具有非负实部，则系统是不稳定的。

　　 这是因为特征值的实部直接反映了系统在零输入的情况下的稳定性特性。

总结

　　通过以上题目的解答，我们可以看出对于线性定常系统稳定性的判断，需要详细分析系统的状态方程和状态矩阵的特征值。选择题、填空题、判断题和论述题的组合方式有助于全面理解和掌握这一知识点。系统的稳定性评估在控制理论和工程实践中具有重要意义，是设计和优化控制系统的基础。

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