选择题
1. 下列函数中，是奇函数的是：
A. \( f(x) = x^3 \)
B. \( f(x) = \sin(x) \)
C. \( f(x) = e^x \)
D. \( f(x) = \cos(x) \)
答案与解析：
正确答案是 A. \( f(x) = x^3 \)。奇函数满足 \( f(-x) = -f(x) \)，而只有 \( x^3 \) 满足这一性质。
2. 曲线 \( y = x^2 \) 在点 \( (1, 1) \) 处的切线斜率是：
A. 0
B. 1
C. 2
D. -1
答案与解析：
正确答案是 B. 1。切线的斜率等于曲线在该点的导数，即 \( \frac{dy}{dx} \bigg_{x=1} = 2 \cdot 1 = 2 \)。
填空题
1. 方程 \( 2x + 3y = 12 \) 的通解是 \( y = \_\_\_\_\_ \)。
答案与解析：
通解为 \( y = -\frac{2}{3}x + 4 \)。从原方程解出 \( y \) 即可得到答案。
2. 在 \( x = 1 \) 处，函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 的导数是 \( f(1) = \_\_\_\_\_ \)。
答案与解析：
\( f(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)，所以 \( f(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 + 2 = -1 \)。
判断题
1. 定积分 \( \int_0^1 x^2 \, dx = 0.25 \)。
答案与解析：
错误。正确的计算为 \( \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \)。
论述题
1. 证明：若 \( A \) 和 \( B \) 是两个矩阵，且满足 \( AB = BA \)，则 \( \det(AB) = \det(A)\det(B) \)。
答案与解析：
这是矩阵行列式性质的一个重要定理。根据矩阵行列式的性质，当 \( A \) 和 \( B \) 可交换时，有 \( \det(AB) = \det(A)\det(B) \) 的关系成立。
以上是《高等数学基础》形成性考核作业的一道题目及其解答，涵盖了选择题、填空题、判断题和论述题，希望对您有所帮助。
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